二次函数
困难
学段：高中
学科：数学
年级：高一
概念定义
二次函数是高中数学中的重要内容，其图像是一条抛物线。
二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c（a≠0），其中a决定抛物线的开口方向和大小，b和a共同决定对称轴的位置，c是抛物线与y轴的交点纵坐标。
解法步骤
- 确定二次函数的一般形式y = ax² + bx + c
- 计算判别式Δ = b² - 4ac，判断方程根的情况
- 计算对称轴x = -b/(2a)
- 计算顶点坐标(-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))
- 根据a的符号确定开口方向和最值
- 分析函数的单调性和奇偶性
应用场景
物理中的运动问题
经济中的最值问题
几何中的面积计算
工程中的优化问题。
易错点分析
- 忽视二次项系数不为零的条件
- 对称轴公式记忆错误
- 顶点坐标计算错误
- 最值求解时忽略自变量的取值范围。
例题解析
1 例题1
例：求函数y = x² - 4x + 3的顶点坐标、对称轴和最值。
解：
1
将函数化为顶点式：y = (x - 2)² - 1
顶点坐标为(2, -1)，对称轴为直线x = 2
当x = 2时，函数取得最小值-1